比例・反比例でつまずくのは「ことば」と「式」がつながっていないから

比例・反比例は、中1数学の中でも「急にわからなくなった」という声が多い単元です。計算そのものは難しくありません。つまずく原因の多くは、「yはxに比例する」という文章の意味と、y=ax という式、そしてグラフの形が、頭の中でバラバラになっていることにあります。

この記事では、表・式・グラフの3つを1本の線でつなぐことを目標に、基本をていねいに整理します。お子さんと一緒に読みながら、手を動かして確認してみてください。

比例：xが2倍・3倍になると、yも2倍・3倍になる

比例の式は y=ax です。aは「比例定数」と呼ばれ、決まった数が入ります。

例として、1本80円の鉛筆をx本買ったときの代金をy円とします。

x（本）	0	1	2	3	4
y（円）	0	80	160	240	320

xが2倍になるとyも2倍、xが3倍になるとyも3倍。これが比例です。式にすると y=80x で、比例定数は80です。

比例定数の求め方は、y÷x を計算するだけです。表のどの組で割っても、160÷2=80、240÷3=80 のように必ず同じ数になります。

比例のグラフは、次の2点がポイントです。

• 必ず原点（0, 0）を通る直線になる
• aがプラスなら右上がり、マイナスなら右下がり

グラフをかくときは、原点ともう1点（たとえば x=1 のときの点）をとって、定規で結べば完成です。y=2x なら原点と（1, 2）を結びます。

反比例：xが2倍・3倍になると、yは1/2・1/3になる

反比例の式は y=a/x です。aは同じく比例定数と呼びます。

例として、12個のクッキーをx人で等しく分けるとき、1人分をy個とします。

x（人）	1	2	3	4	6
y（個）	12	6	4	3	2

人数が2倍になると1人分は半分、3倍になると1/3になります。式は y=12/x で、比例定数は12です。

比例定数の求め方は、x×y を計算します。1×12=12、2×6=12、3×4=12 と、どの組でかけても同じ数になります。比例は「割り算」、反比例は「かけ算」と覚えておくと混乱しません。

反比例のグラフは「双曲線」と呼ばれるなめらかな曲線です。

• 原点は通らない（x=0 のときyは決まらない）
• 軸に近づいていくが、軸とは交わらない
• aがプラスなら右上と左下、マイナスなら左上と右下の2本に分かれる

かくときは、表の点をなるべく多くとり、定規を使わず手書きでなめらかに結びます。点と点を直線で結んでしまうのはよくあるミスです。

比例と反比例の見分け方は、この表1枚で整理できる

比べるところ	比例	反比例
式	y=ax	y=a/x
xが2倍になると	yも2倍	yは1/2
比例定数aの求め方	y÷x	x×y
グラフの形	原点を通る直線	原点を通らない2本の曲線（双曲線）
身近な例	代金と本数、時間と道のり	人数と1人分、速さとかかる時間

テストでよくあるミス

1. 「xが増えるとyも増える」だけで比例と判断する（y=x+3 は増えるが比例ではない）
2. 反比例の比例定数をy÷xで求めてしまう
3. 比例定数がマイナスのとき、グラフの向きを逆にかく
4. 反比例のグラフを片側（右上だけ）しかかかない

特に1は要注意です。比例かどうかは「増える・減る」ではなく、「2倍・3倍の関係になっているか」「y÷xが一定か」で確かめましょう。

比例、反比例という法則は理解できているのにグラフがわからない理由

比例、反比例の考え方が分かり、表だと穴埋めができるのに、グラフになると作ることも読み取ることもできなくなる生徒もいます。

その原因は二つです。

一つは座標が理解できていないこと

二つ目は表とグラフの意味が理解できていないことです。

座標って何？

座標は（ｘ, y）と書きますよね。xの値とyの値の組み合わせです。

表で言うところのたて列の組み合わせのことです。

これがまず理解できていないケースと、そもそも小学生のころから数直線が苦手で、数字と数直線の感覚がないと座標もわかりません。

座標はｘの数直線とｙの数直線の組み合わせでできています。

数字を見た際にそもそもどのあたりに点が打てるのか理解できないとどうにもなりません。

数直線を先ず理解しましょう。

グラフ（線）は点の集合体

次に、線は点と点が組み合わせて線になる、ということを理解できていない生徒は表や問題からわかる座標からどういう線が引けるかイメージできません。

比例の場合は、二つの座標が分かれば線が引けます。反比例の場合は4つほど点が分かれば何となくの曲線が書けます。

逆に線は点の集合なので線上に座標があれば、それがその線が取りうるxとyの座標ということが理解できません。

所謂グラフから読み取れない、ということです。

 

比例や反比例の考え方は理解できているのにグラフになると途端にできない生徒は上記の理解が足りないかもしれません。

 

家庭でできる練習法：「表→式→グラフ」を毎回セットで

比例・反比例を得意にする近道は、1つの問題で表・式・グラフの3つを必ずセットで書く習慣です。

• 表を自分で作る：x=1, 2, 3… を代入し、yの変化を目で確かめる
• 法則＝式を作る：数字の法則を見つけて式を作ってみましょう。
• グラフを作る：表から座標に点を売ってみてグラフを作ってみる

問題文を読んで、すぐに式を立てようとしなくて大丈夫です。まず表を書けば、比例か反比例かは自然に見えてきます。

まとめ

比例は「y=ax・原点を通る直線」、反比例は「y=a/x・2本の曲線」。この基本さえ押さえれば、中2で学ぶ一次関数にもスムーズにつながります。

「ことばの意味がつかめない」というお子さんは、実は問題文の読み取りでつまずいていることも少なくありません。まなびの樹では、一人ひとりがどこでつまずいているかを確かめながら、基礎から学び直すサポートをしています。気になる方はお気軽にご相談ください。

 

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